向量題背后的真相：高分低能的分水嶺

向量運(yùn)算陷阱多

2004年的時候，浙江文科里的第4個題目，考查的是向量平行的條件，看上去好像挺簡單的，然而卻讓不少考生在這兒栽了跟頭。向量a它等于(3,4)，向量b等于(sinα,cosα)，這兩者要是平行的話，那就意味著坐標(biāo)得成比例，也就是3/ sinα = 4/ cosα，這種情況等價于3cosα=4sinα，進(jìn)一步也就是tanα=3/4。好多學(xué)生只是死記硬背公式，卻把平行向量對應(yīng)坐標(biāo)交叉相乘相等這樣的本質(zhì)給忘掉了。

同一年，湖北文理方面的第4道題目，更是那種堪稱經(jīng)典的陷阱類型，給出了a·b = a·c這樣的條件，然后問能不能推導(dǎo)出b = c。正確的答案是不行的，原因在于當(dāng)向量的數(shù)量積是零時，a能夠與b、c都呈現(xiàn)垂直的狀態(tài)，在這種情形下，b和c能夠是完全不一樣的。當(dāng)年，這道題目錯誤的概率高達(dá)60%，這充分暴露出學(xué)生對于向量點積的幾何意義理解存在欠缺。

軌跡問題不簡單

點\(P\)軌跡的求解要求出自遼寧卷第\(6\)題，已知點\(A\)坐標(biāo)為\((-2,0)\)，點\(B\)坐標(biāo)為\((3,0)\)，規(guī)定設(shè)\(P\)的坐標(biāo)是\((x,y)\)，那么向量\(PA\)為\((-2 - x,-y)\)，向量\(PB\)為\((3 - x,-y)\)，二者點積結(jié)果是\((-2 - x)(3 - x)+y2\)且該結(jié)果等于\(x2\)，對其化簡后得到\(x2 - x - 6 + y2 = x2\)，也就是\(y2 = x + 6\)，它是一條開口向右且頂點在\((-6,0)\)的拋物線，此題目考察了向量坐標(biāo)運(yùn)算與軌跡方程的結(jié)合。

有著代表性的全國卷那道單位向量題，a與b的夾角是60°，求解|a + 3b|。通過直接平方得出a2 + 6a·b + 9b2 ，其結(jié)果為1 + 6×1×1×cos60° + 9 ，進(jìn)一步計算得到1 + 3 + 9等于13 ，所以模長是√13。此題目考查數(shù)量積的基本運(yùn)算，好多學(xué)生忘掉夾角余弦值或者算錯乘法，進(jìn)而導(dǎo)致失分。

射影問題理解難

全國理第9題給出了直線l的方向向量e，點O在l上的射影為O′，點A在l上的射影為A′，求O′A′與e的關(guān)系，這實際上是考察向量在方向向量上的投影長度，O′A′是向量OA在l方向上的投影向量，其長度等于|OA|乘以O(shè)A與e夾角余弦的絕對值，其方向與e相同或者相反。

被天津那道涉及動點的題目困擾著，它屬于典型的向量跟幾何相互融合的題目情境，作為定點存在的O，A、B、C處于并非共線的狀態(tài)，有一個動點P是滿足某種特定的向量關(guān)系的，此類題目一般而言是需要轉(zhuǎn)化成用基底向量進(jìn)行表示的方式才可以，之后還要通過消除參數(shù)去求解軌跡情況當(dāng)年有好多學(xué)生不清楚該從哪里著手去處理，事實上就是要把OP借助OA、OB、OC來進(jìn)行表示，然后依據(jù)給定的條件去列出方程。

數(shù)量積計算易錯

浙江文理的第14題給出了三角形三邊，其中AB等于3，BC等于4，CA等于5，要求對某些數(shù)量積進(jìn)行計算。此三角形為直角三角形，角B是直角，所以AB與BC的數(shù)量積等于0，BC與CA的數(shù)量積等于4乘以5再乘以cos(∠BCA)，CA與AB的數(shù)量積等于5乘以3再乘以cos(∠CAB)。通過利用余弦定理算出角度，便可得出具體數(shù)值。該題目考查了數(shù)量積的定義式。

江蘇卷的第16題，其要求是求向量b，已知向量a等于(4,-3)，向量b的模長|b|為1，向量a與向量b的數(shù)量積a·b等于5。設(shè)向量b為(x,y)，那么就有x2+y2等于1，4x - 3y等于5。這個方程組看上去挺簡單的，然而求解時需要留意x、y的范圍。聯(lián)立方程得出y等于(4x - 5)/3，把它代入圓方程，解得x等于4/5，y等于-3/5，或者x等于0，y等于-1，但是將第二個解代入點積得到的結(jié)果是3，并不滿足等于5的條件，所以只剩下第一個解。

綜合應(yīng)用要求高

設(shè)在上海理第6題里，涉及到的向量同向以及模長相關(guān)內(nèi)容，已知點A的坐標(biāo)是(1,-2)，，向量AB的方向與向量{2,3}是同向的，并且向量AB的模長是2，此時來求解B的坐標(biāo)。因為同向所表達(dá)的意思就是AB與(2,3)是成比例關(guān)系的，于是設(shè)AB = k(2,3)，這里k大于0，依據(jù)模長的條件得出k乘以根號下(4 + 9)等于2，進(jìn)而算出k = 2 / 根號13，所以B的坐標(biāo)是(1 + 4 / 根號13, -2 + 6 / 根號13)。像這類題目是把向量方向、模長以及坐標(biāo)相互結(jié)合起來的，這就要求對于相關(guān)概念要清晰明確。

全國文理第14題，給出這樣的條件∶(a-b)·(2a+b)=-4，|a|=2，|b|=4，要求a與b的夾角。將其展開，得到2a2+a·b=2b·a-b2，也就是2×4+(-a·b)-16=-4，進(jìn)而得出8-a·b-16=-4，所以a·b=-4，根據(jù)cosθ=-4/(2×4)，得出cosθ=-1/2。由此可知夾角為120°。這道題綜合了數(shù)量積運(yùn)算律以及模長條件，在運(yùn)算過程當(dāng)中要關(guān)注符號。

空間向量成新寵

廣東卷的第18題，屬于長方體里的向量問題，其中AB的長度是4，AD的長度為3，AA1的長度未知，E、F是分別處于AB、BC上的點，EB的長度是1，F(xiàn)B的長度也是1，類似這樣的題目普遍會構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，寫出各個點的坐標(biāo)，接著去求向量夾角或者距離,坐標(biāo)法將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，思路較為清晰,可計算量卻不小。

全國卷當(dāng)中那道將函數(shù)跟向量相互結(jié)合起來考的題，也算是極具典型性的了，f(x)等于a與b的數(shù)量積，其中a是(2cosx,1)，b是(cosx,√3sin2x)，這里x屬于全體實數(shù)。經(jīng)過化簡之后得到f(x)等于2cos2x加上√3sin2x，又可進(jìn)一步化為1加上cos2x再加上√3sin2x，最終等于1加上2這樣計算結(jié)果sin(2x加上π/6)。像這種類型的題，把三角函數(shù)跟向量之間的數(shù)量積關(guān)聯(lián)到一起，對二倍角公式以及輔助角公式的應(yīng)用情況進(jìn)行了考查。

自平面朝著空間轉(zhuǎn)變的向量題目，從單純的代數(shù)范疇，邁向與幾何、三角以及解析幾何相互融合的領(lǐng)域，其難度呈現(xiàn)出一年比一年不斷提高的態(tài)勢。你當(dāng)下是否依舊能夠記起往昔做這類題目之際，最令你感覺到頭疼無奈的是到底計算過程出現(xiàn)差錯失誤，還是思維思路被局限而無法打開拓展呢？熱忱歡迎諸位在評論區(qū)域分享你個人的向量學(xué)習(xí)歷程過往，點擊點贊以便讓更多的同學(xué)得以看見這些極為經(jīng)典題型的破解方式門道。